Matemaatika valemeid.

[Külaline blu]

sin2α + cos2α = 1

sin2α = 1 – cos2α

cos2α = 1 – sin2α

tan α = sin α/cos α

 

sin α = tan α*cos α

cos α = sin α /tan α

1+tan2α = 1/cos2α

cos2 α = 1/tan2 α +1

 

cos2α – 1 = - sin2α

sin2α – 1 = - cos2α

cot α = cos α/sin α

cos α = cot α*sin α

sin α = cos α/cot α

cot α =1/tan α

tan α *cot α =1

1+cot2 α = 1/sin2α

sin α = cos (90o – α)

cos α = sin (90o – α)

tan α = 1/tan (90o – α)

cot α =tan (90o – α)

tan α = cot (90o – α)

sin α = vastas kaatet/hüpotenuus

cos α = lähis kaatet/hüpotenuus

tan α = vastas kaatet/lähis kaatet

cot α = lähis kaatet/vastas kaatet

 

Kolmnurga pindala

Koosinusteoreem

Siinusteoreem

S=a*h/2

S=1/2a*b*sing

S=1/2*a*c*sinb

S=1/2*b*c*sina

S=ruutjuur p(p-a)(p-b)(p-c), kus p=ü/2

S=pr, kus r on siseringjoone raadius

S=abc/4R, kus R on välisringjoone raadius

a2=b2+c2-2bc*cosa

b2=a2+c2-2ac*cosb

c2=a2+b2-2ab*cosg

a/sina=b/sinb=c/sing=2R

c2=a2+b2

a2=fc / b2=gc

h2=fg / ab=hc

c=2R

Romb

d12+d22=4a2

S=ah

S=a2*sinj

S=0,5* d1*d2

Trapets

S=(a+b/2)*h

Rööpkülik

Sarnased kolmnurgad

d12+d22=2(a2+b2) / S=ah / S= a*b*sinj

S1/S2=k2 (k=sarnasustegur)

 

 

Silinder

Sk = 2prh; St = Sk+2Sp=2prh+2pr2 =2pr(h+r); Sp = pr2; V = pr2h

Koonus

Sk = prm; St = Sp+Sk=pr2+prm=pr(r+m);V = 1/3pr2h

Kera

S = 4pr2; V = 4/3pr3

Rööpkülik

S=a*h

Romb

S=d1*d2

2

Trapets

S=a+b*h

2

Püströöp

tahukas

Sk=P*H; P=2(a+b); Sp=a*h; St=Sk+2Sp;V=Sp*H

 

[align=center]Radiaan

[/align]

Skalaarkorrutis

 

1o=p/180o

1rad=180o/p

p=180o

Kahe vektori pikkuste ja vektorite vahelise nurga cos korrutis.

a*b =|a|*|b|*cosj

1. j=0, siis a*b=|a|*|b| (kõige suurem; ühes suunas)

2. j=tervanurk. siis a*b=|a|*|b|*cosj (>0)

3. j=90o, siis a*b=0 (vektorid on risti)

4. j=nürinurk, siis a*b=|a|*|b|*cosj (

5. j=180o, siis a*b=-|a|*|b| (kõige väiksem)

 

a*b=b*a | 2*(a*b)=2*a*b*cosj | a*(b+c)=a*b+a*c | a*b*c=arv*c=vektor

Sektor

 

Kraadides: l=pra/180o | S=pr2a/360o

Radiaanides: l=xr | S=xr2/2 | S=rl/2

Nurk kahe vektori vahel

 

cosj=a*b/|a|*|b|

Kolmnuraga pindala

 

[align=center][align=center]Skalaarkorrutis koordinaatides[/align:177r9asr][/align]

S=a*h/2

S=1/2a*b*sing

S=1/2*a*c*sinb

S=1/2*b*c*sina

S=ruutjuur p(p-a)(p-b)(p-c), kus p=ü/2 S=pr, kus r on siseringjoone raadius S=abc/4R, kus R on välisringjoone raadius

Vastavate koordinaatide korrutise summa

a*b=x1*x2+y1*y2

[align=center]Rööpküliku | rombi pindala

[/align]

S=a*b*sinj | S=a2*sinj

Siinusteoreem

 

a/sina=b/sinb=c/sing=2R

Kui on antud kaks külge ja nendest väiksem vastasnurk tuleb lahendada kaks kolmnurka.

Koosinusteoreem

 

a2=b2+c2-2bc*cosa

b2=a2+c2-2ac*cosb

c2=a2+b2-2ab*cosg

Nürinurgast on miinusega.

Kõige suuremale küljele vastab kõik pikem külg jne.

[align=center][align=center]α[/align:177r9asr][/align]

[align=center]30o

[/align]

[align=center]45o

[/align]

[align=center]60o

[/align]

[align=center]90o

[/align]

Siinus on + I ja II veerandis

Koosinus on + I ja IV veerandis

Tangens on + I ja III veerandis

[align=center]sin α

[/align]

[align=center]1/2

[/align]

[align=center]2/3

[/align]

[align=center]3/2

[/align]

[align=center]1

[/align]

[align=center]cos α

[/align]

[align=center]3/2

[/align]

[align=center]2/2

[/align]

[align=center]1/2

[/align]

[align=center]0

[/align]

[align=center]tan α

[/align]

[align=center]3/3

[/align]

[align=center]1

[/align]

[align=center]3

[/align]

[align=center]-

[/align]

II veerand: 180o – antud nurk

III veerand: antud nurk - 180o

IV veerand: 360o – antud nurk

[align=center]cot α

[/align]

[align=center]3

[/align]

[align=center]1

[/align]

[align=center]3/3

[/align]

[align=center]-

[/align]

 

sin(a±b) = sinacosb±cosa sinb

cos(a±b) = cosacosb sinasinb

tan(a±b) = tana+tanb/1 tanatanb

sin2a = 2sinacosa

cos2a = cos2a-sin2a

tan2a = 2tana/1-tan2a

 

sin22a = (2sinacosa)2 = 4sin2acos2a

 

Y=ax+b. Et A(2;1) asub sirgel y=ax+b, siis 2a+b=1. Sirge y=ax+b lõikab y-telge punktis, kus x=0 ehk y=b. Sirge y=ax+b lõikab x-telge punktis, kus y=0 ehk x=-b/a.

 

Kingade hinda tõstetakse x korda 10 krooni.

Kingad maksavad siis 200+10x

Kingi ostetakse sel juhul 40-x

Raha saadakse siis y=(200+10x)(40-x)

 

Kilo hinda alandatakse x korda 0,1

Töötasu iga müüdud kilo eest on siis 2-0,1x

Päevane läbimüük on siis 20+2x

Läbimüügi eest saadav tasu on (2-0,1x)(20+2x)

 

Määramispiirkond (X) – kõik need x väärtused, mille korral y on arvutatav.

Positiivsuspiirkond (X+) – need x väärtused, mille korral y on positiivne; tuleb lahendad f(x)>0.

Negatiivsuspiirkond (X-) – need x väärtused, mille korral y on negatiivne; tuleb lahendad f(x)

Kasvamispiirkond (X*) – need x väärtused, mille korral x väärtuste suurenedes ka y väärtused suurenevad.

Kahanemispiirkond (X¯) – need x väärtused, mille korral x väärtuste suurenedes y väärtused vähenevad.

Ekstreemumkoht (Xe) – need x väärtused, mille korral y omab oma suurima või vähima väärtuse; ekstreemumkoht – x väärtus, ekstreemum y väärtus, ekstreemum punkt (x;y).

Paarisfunktsioon – f(x)=f(-x)

Paaritu funktsioon – f(-x)=-f(x)

 

Aritmeetlise jada üldliikme valem: an=a1+(n-1)d

an – jada viimane liige; n näitab, mitmes liige see on

a1 – aritmeetilise jada esimene liige (a10=a1+9d)

n – näitab, palju on jadas liikmeid

d – jada vahe

 

Aritmeetilise jada esimese n liikme summa: Sn=(a1+an)/2*n | Sn=[2a1+(n-1)d]/2*n

Sn – a1 ja an vaheliste liikmete summa; n näitab, mitu liiget kokku liidetakse

 

Geomeetriline jada üldliikme valem: an=a1*qn-1

Geomeetrlise jada summa: Sn=a1(qn – 1)/q-1

 

Geomeetrlise hääbuva jada summa: s=a1/1-q

 

logab=c Þ ac=b

alogab=b

logabc=logab+logac

logab/c= logab–logaC

log443=3log44

logax= logbx/logbx

 

Kombinatoorika tegeleb võimaluste arvutamisega.

Kui mingil objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning:

·valida tuleb kas objekt A või B, siis kõigi erinevate valikute arv on m+n (liitmislause).

·valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi valikute arv on m*n (korrutamislause).

Kombinatoorika põhimõisted

·Permutatsioonid – n elemendilise hulga kõik erinevad järjestused.s

Pn=n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2*

·Kombinatsioonid – n elemendis k kaupa on kõik k elemndist koosnevad osahulgad.

Ckn=n!/[k!(n-k)!]

·Variatsioonid – n elemendist k kaupa on k elemendilised järjestatud osahulgad.

Vkn=n!/(n-k)!

Sündmus ja selle liigid

·Kindel sündmus – sündmus on kindel, kui tema antud tingimustes alati toimub, p(U) või p(Ω).

·Võimatu sündmus – sündmus on võimatu, kui tema antud tingimustel ei saa toimuda, p(V) või p(Ø).

·Juhuslik sündmus – sündmus nimetatakse juhuslikuks, mis antud tingimustes toimub ja võib ka mitte toimuda, p(A), p(B)...

·Sündmuse A vastandsündmus Ā – sündmuse A mittetoimumist nimetatakse sündmuse A vastandsüundmuseks Ā [loe: A kaetud].

·Juhuslikud sündmused on võrdvõimalikud – ühel sündmusel ei ole rohkem võimalusi esile tulekuks kui teisel.

·Juhuslikud sündmused on üksteist välistavad, kui nad ei saa korraga toimuda.

Klassikaline tõenäosuse valem

p(A)=m/n, kus m on selle sündmuse jaoks soodsad võimalused ja n on kõik võimalused.

·p(Ω)=1

·p(V)=0

Tõenäosuse liitmine ja korrutamine

Liitmiselause

·Kahe teineteist välistava sündmuse (ei saa korraga toimuda) summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, p(A või B)=p(A)+p(B).

·Kahe teineteist mitte välistava sündmuse (võivad ka koos toimuda) summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud nende sündmuste koostoimumise tõenäosus, p(A või B)=p(A)+p(B)-p(A ja B).

Korrutamiselause

Südmused on sõltumatud, kui ühe sündmuse tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine sündmus t oimub või mitte.

·Kahe sõltumatu sündmuse korrutise tõenäosus võrdub nende sündmuset tõenäosuste korrutistega, p(A ja B)=p(A)*p(B).

·Kahe sõltuva sündmuse korrutise tõenäosus võrdub esimese sündmuse tõenäosuse ja teise sündmuse tingliku tõenäosuse korrutisega, p(A ja B)=p(A)*p(B/A).

 

 

Statistiline rida – kogutud andmed selles järjekorras, kuidas nad on saadud (x1, x2...)

Statistilise rea maht – elementide arv selles reas

Statistilise rea ulatus – selle rea suurma ja vähima elemendi vahe

Variatsioonirida – korrastatud statistiline rida, elementide kasvamise või kahanemise järjekorras

Sagedustabel – kui variatsioonireas esineb palju korduvaid elemente, siis teha tabel (absoluutne sagedus – f)

Sagedusjaotustabel – (suhteline sagedus – f /n)

Jaotustabel – absoluutse sageduse rida puudub

Andmestiku karakteristikud – Keskmised:

·Mood – on vaadeldava suuruse kõige sagedamini esinev väärtus (Mo)

·Mediaan – variatsiooni rea keskel asuv väärtus, kuid neid arve on paaritu arv ja kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine, kui neid arve on paaris arv (Me)

·Aritmeetiline keskmine – Suuruse kõigi väärtuste summa ja rea mahu jagatis

Hajvusmöödud:

·Minimaalne ja maksimaalne element

·Variatsioonirea ulatus

·Hälve – e lemendi erinevus aritmeetiliselst keskmisest (d=|x-x|)

·Keskmine hälve – kõigi hälvete summa ja reamahu jagatis

·Dispersioon – hälvete ruutude keskmine

·Standard hälve – ruutjuur dispersioonist

 

Sirge tõus on tõusunurga tangens. Siis kui x kordaja on +, siis sirge tõuseb.

x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1

x-x1/v1=y-y1/y2

y=ax+b (a – sirge tõus; b – algordinaat)

y-y1=a(x-x1)

Ax+By+C=0 – üldvõrrand

 

Sirged kattuvad s=t (võrrandid on samad)

A1/A2=B1/B=C1/C2

Sirged on paralleelsed s||t (tõusud on võrdsed)

A1/A2=B1/B¹C1/C2

Sirged lõikuvad (tõusud erinevad, risti on kui tõusude korrutis on –1)

a1¹a2

 

Vektor on suunaga lõik, millel on alguspunkt (rakenduspunkt) ja lõpppunkt.

Igal sihil on kaks suunda. Paralleelsetel sirgetel on sama siht.

Vektoreid tähistatakse kas 2 suure tähega või 1 väikse tähega.

AB vastandvektor on BA; v vastandvektor on –v

Vektorid on võrdsed kui nendel on sama pikkus ja suund.

Sama sihiga ehk samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks. Vektorid on kollineaarsed siis, kui nende koordinaadid on võrdelised (s.t. vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed).

Vektori lahutamisel asendame lahutamise vastandvektori liitmisega.

Vektori liitmisel liidame vastavad koordinaadid, lahutamisel lahutame.

Vektorid i ja j – ristuvad ühik vektorid. Ühe ühiku pikkused, teljestiku sihis.

Vektori koordinaatide leidmiseks lahutan lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid.

Vektori pikkus võrdub ruutjuurega koordinaatide ruutude summast.

Sellist vektorit, mille algus punktid on koordinaatide alguspunktis nim kohavektoriks. Kohavektori koordinaadid on samad, mis vektori lõpp koordinaadid.

Sellist vektorit, mille pikkus on 0 ühikut, nim nullvektoriks.

Sellist vektorit, mis on 1 ühik pikk nim ühikvektoriks.

 

 

 

 

 

 

~~

 

 

 

Üldiselt kasutan mina neid spikriteks.

Panen WORDI ja prindin font 2,5 või 3-ga välja ning pastaka sisse.

NEED JÄÄVAD IMEVÄIKESED JA HÄSTI LOETAVAD!

 

 

Kergendan teiegi elu veel.